Réponse :
ex4
∀n ∈ IN ; Un = 4 - 1/(n+1)
1) n 0 1 2 3 4 5
Un 3 3.5 ≈3.66 3.75 3.8 ≈3.83
pour tout entier naturel n : la suite (Un) est croissante et majorée par 4
2) Un ≥ 3.95 ⇔ 4 - 1/(n+1) ≥ 3.95 ⇔ 4 - 3.95 ≥ 1/(n+1)
⇔ 0.05 ≥ 1/(n+ 1) ⇔ 0.05(n+1) ≥ 1 ⇔ 0.05 n + 0.05 ≥ 1
⇔ 0.05 n ≥ 0.95 ⇔ n ≥ 0.95/0.05 ⇔ n ≥ 19
donc c'est à partir du rang n = 19
3) démontrer que (Un) est croissante sur IN
Un+1 - Un = 4 - 1/(n+2) - (4 - 1/(n+1)
= 4 - 1/(n +2) - 4 + 1/(n+1)
= - 1/(n+2) + 1/(n+1)
= (- (n+1) + n + 2)/(n+2)(n+1)
= (- n - 1 + n + 2)/(n+2)(n+1)
= 1/ (n+2)(n+1) or (n+2)(n+1) ≥ 0 et 1 > 0
donc 1/ (n+2)(n+1) ≥ 0 donc Un+1 - Un ≥ 0 ⇒ (Un) est croissante sur IN
4) (Un) est majorée par 4 ⇔ Un ≤ 4
Un ≤ 4 ⇔ Un - 4 ≤ 0 ; étudions le signe de Un - 4
Un - 4 = 4 - 1/(n+1) - 4 = - 1/(n+1) or n+1 ≥ 0 et - 1 < 0
donc - 1/(n+1) ≤ 0 ⇔ Un - 4 ≤ 0 donc (Un) est majorée par 4
Explications étape par étape :
