Réponse :
Bonjour,
Équation nº1
[tex]\dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]Soit \ x^2 + 1 \neq 0[/tex]
Or un carré est toujours positif.
De plus, la somme de deux nombres positifs nous donne un résultat positif.
D'où [tex]D_E = \mathbb R[/tex]
[tex]\dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{2}\\\\\Leftrightarrow x^2 + 1 = 2x\\\\\Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0\\\\\Leftrightarrow x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2 = 0\\\\\Leftrightarrow (x - 1)^2 = 0[/tex]
[tex]Soit \ x - 1 = 0\\\\\Leftrightarrow x = 1[/tex]
[tex]Donc \ S = \{1 \}[/tex]
Équation nº2
[tex]x + \dfrac{1}{x} = 3[/tex]
[tex]Soit \ \dfrac{1}{x} \neq 0\\\\\Leftrightarrow x \neq 0[/tex]
D'où [tex]D_E = \mathbb R^*[/tex]
[tex]x + \dfrac{1}{x} = 3\\\\\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3x}{x} = 0\\\\\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x} = 0\\\\\Leftrightarrow x^2 - 3x + 1 = 0[/tex]
On obtient un polynôme de second degré avec les coefficients suivants: [tex]a = 1 \ , \ b = -3 \ \ et \ \ c = 1[/tex]
On calcule le discriminant [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\Delta = b^2 - 4ac\\\\= (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1\\\\= 5[/tex]
On constate que [tex]\Delta > 5[/tex] .
L'équation admet deux solutions réelles distinctes.
[tex]x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\= \dfrac{-(-3) - \sqrt{5}}{2 \times 1}\\\\= \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}[/tex]
ou
[tex]x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\= \dfrac{-(-3) + \sqrt{5}}{2 \times 1}\\\\= \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]Donc \ S = \left \{ \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} ; \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \right \}[/tex]
