SVP J’AI BESOIN D’AIDE JE N’ARRIVE PAS À RÉSOUDRE CET EXERCICE
Suites de nombres complexes:
On considère la suite (Zn) définie par Z0 = 0 et pour tout
n appartient à N, Zn+1 = izn - 4.
A 1. Déterminer la forme algébrique de Z1, Z2 et Z3.
2. Pour tout entier naturel n, on pose Zn = an + ibn où an
est la partie réelle de Zn et bn est la partie imaginaire de zn
a) Donner la valeur de a0 et b0
b) Exprimer an+1 et ben+1 en fonction de an et bn.
c) Compléter le programme en Python suivant afin
qu'il renvoie la partie réelle et la partie imaginaire de Zn.
def f(n):
a=....
b...
for i in range (1, n+1):
C=
a=. b=
return([a,b])
B). On considère le nombre complexe w= -2-2i.
Soit (un) la suite définie pour tout n appartient à N par un = Zn-W.
1. Montrer que pour tout n appartient à N, Un+1 =ix Un
2. En déduire que pour tout n appartient à N, un = (2+2i) xi".
3. En déduire l'expression de zn en fonction de n.
4. a) Donner la valeur de i^2 et en déduire la valeur de i^50
et i^100
b) En déduire la forme algébrique de Z50 et Z100 sans
calculatrice.


Sagot :

CAYLUS

Réponse :

Explications étape par étape :

1)

[tex]z_0=0\\z_{n+1}=i*z_n -4\\\\z_1=-4+i*z_0=-4+i*0=-4\\\\z_2=-4+i*(-4)=-4-4i\\\\z_3=-4+i*(-4-4i)=-4-4i+4=-4i\\\\z_4=-4+i*(-4i)=-4+4=0\\\\[/tex]

2)

[tex]a_0=0\\b_0=0\\\\\\z_n=a_n+i*b_n\\\\z_{n+1}=-4+i*z_n=-4+i(a_n+i*b_n)=-4-b_n+i*a_n\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{n+1}&=&-4-b_n\\b_{n+1}&=&a_n\\\end {array} \right.\\\\a_{n+2}=-4-b_{n+1}=-4-a_n\\\\a_{n+2}+a_n=-4\\a_{n+1}+a_{n+1}=-4\\\\a_{n+3}-a_{n+2}+a_{n+1}-a_n=0\\r^3-r^2+r-1=0=(r-1)(r+i)(r-i)\\\\\boxed{a_n=k_1*1^n+k_2*i^{n}+k_3*(-i)^n}\\[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}k_1+k_2+k_3=0\ (a_0)\\k_1+i*k_2-i*k_3=-4\ (a_1)\\k_1-k_2-k_3=-4\ (a_2)\\\end {array} \right.\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}k_1=-2\\k_2=1+i\\k_3=1-i\\\end {array} \right.\\\\\\\boxed{a_n=-2+(1+i)^n+(1-i)*(-i)^n}\\a_n=-2+(1+i)^n+(1-i)*(-i)^n\\b_n=-2+(1+i)^{n-1}+(1-i)*(-i)^{n-1}\\\\\\z_n=a_n+i*b_n\\\\\boxed{z_n=-2-2i+2*(1+i)^n}\\[/tex]

c)

def f(n):

__a=0

__b=0

__for i in range(1,n+1):

__ __c=a

__ __a=-4-b

__ __b=c

__return([a,b])

Voici pour la première partie.

Pour la seconde, j'attends que tu ais reposté la partie B à part.

View image CAYLUS