Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Je te fais tout .
1)
f(x)=2 + 3/(x-4)
On réduit au même dénominateur :
f(x)=[2(x-4)+3] / (x-4)
f(x)=(2x-5) / (x-4)
2)
Soient :
a < b < 4
f(a)=2 + 3/(a-4)
f(b)=2 + 3/(b-4)
f(a) - f(b)=2 + 3/(a-4) - 2 -3/(b-4)
f(a)-f(b)=3/(a-4) - 3/(b-4)
On réduit au même déno :
f(a)-f(b)=[3(b-4)-3(a-4)] / (a-4)(b-4)
f(a)-f(b)=3(b-a) / (a-4)(b-a)
On est parti de : a < b < 4 qui donne :
a < 4 donc : (a-4) < 0
b < 4 donc : (b-4) < 0
a < b donc (b-a) > 0
Dans un quotient : deux facteurs négatifs et un facteur positif donnent un quotient positif. OK ?
Donc :
f(a)-f(b) > 0
Donc :
f(a) > f(b)
Sur ]-inf;4[ on est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) , ce qui prouve que la fct f(x) est décroissante sur cet intervalle.
3)
Je ne sais pas ce que tu as vu sur les fcts en cours .
Soit h(x)=(x+4)² qui s'écrit aussi :
h(x)=x²+8x+16
Tu dois savoir que la fct f(x)=ax²+bx+c avec a < 0 est décroissante sur ]-inf;-b/2a].
Ici :-b/2a=-8/2=-4
h(x) est donc décroissante sur ]-inf;-4].
Si tu n'as vu que la forme canonique :
f(x)=a(x-α)²+β , tu sais que si a > 0 , f(x) est décroissante sur ]-inf;α].
Ici :
h(x)=(x-(-4)]² et donc α=-4 .
h(x) est donc décroissante sur ]-inf;-4].
g(x)=(x+4)²+f(x)
g(x) est la somme de deux fcts décroissantes sur ]-inf;-4[ , donc g(x) est décroissante sur cet intervalle.
