Bonsoir.
Pour la première question, il suffit que tu regardes graphiquement quand la courbe [tex]C_{f}[/tex] est en-dessous de [tex]C_{g}[/tex]. On s'aperçoit que c'est le cas lorsque [tex]x\in[-1;\frac{3}{2}][/tex] et [tex]x\in[3;+\infty[[/tex].
Graphiquement, on en déduit que [tex]\forall x\in[-1;\frac{3}{2}]\cup[3;+\infty[[/tex], [tex]f(x) < g(x)[/tex].
Pour la 2.a, tu obtiens ce résultat en partant de [tex]f(x) < g(x)[/tex] avec [tex]f(x) = -x^{3} + 4x^{2} - x - 7[/tex] et [tex]g(x) = x^{2} - 3x - 1[/tex] :
[tex]-x^{3} + 4x^{2} - x - 7 < x^{2} - 3x - 1[/tex]
<=> [tex]-x^{3} + 4x^{2} - x - 7 - x^{2} + 3x + 1 < 0[/tex]
<=> [tex]-x^{3} + 3x^{2} + 2x - 6 < 0[/tex]
Pour la 2.b, vérifie en développant [tex](x^{2} - 2)(3 - x)[/tex] :
[tex](x^{2} - 2)(3 - x) = 3x^{2} - x^{3} - 6 + 2x[/tex] (double distributivité)
Et avec un peu d'ordre dans les termes tu retrouves bien [tex]-x^{3} + 3x^{2} + 2x - 6[/tex].
Enfin pour la 2.c, utilise la forme factorisée pour résoudre l'inéquation ^^ :
Ici tu pourras utiliser un tableau de signe pour trouver indépendamment le signe de [tex]x^{2} - 2[/tex] et [tex]3 - x[/tex], je ne peux pas te le faire malheureusement.
[tex]x^{2} - 2 < 0[/tex] <=> [tex]x = \sqrt{2}[/tex] ou [tex]x = -\sqrt{2}[/tex]
et
[tex]3 - x > 0[/tex] <=> [tex]x < 3[/tex]
[tex]x^{2} - 2 > 0[/tex] <=> [tex]x\in ]-\infty;-\sqrt{2}[\cup]\sqrt{2} ;+\infty[[/tex]
et
[tex]3 - x < 0[/tex] <=> [tex]x > 3[/tex]
Avec ton tableau de signe ou comme moi par le calcul et les intersections, tu en déduis que [tex]\forall x\in ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[\cup]3;+\infty[[/tex], [tex]f(x) < g(x)[/tex].
(Cela ressemble bien à notre déduction par lecture graphique, la différence est due à la précision de cette lecture par rapport aux calculs)
Si tu as des questions n'hésite pas :D
Bonne soirée ^^
