Bonsoir,
Pour démontrer une relation de récurrence, il faut 2 choses :
- Que ce soit vraie pour le plus petit entier naturel auquel commence la relation => C'est l'initialisation.
- Que si la relation est vraie à un rang N quelconque, alors la relation sera vraie au rang N+1 => C'est l'hérédité.
Ici pour l'initialisation c à d n = 1, on a :
1^3= 1^2
Pour l'hérédité :
On suppose que la relation est vraie pour n entier naturel >= 1
On a :
(1 + ... + n + n+1) ^ 2 = (1 + ... + n + n+1) (1 + ... + n + n+1)
= (1 + ... + n)^2 + 2(n+1)(1 + ... + n) + (n+1)^2
= (1 + ... + n)^2 + 2(n+1)(n(n+1) / 2) + (n+1)^2
= (1 + ... + n)^2 + n(n+1)^2 + (n+1)^2
=(1 + ... + n)^2 + (n+1)(n+1)^2
= (1 + ... + n)^2 + (n+1)^3
Or la relation est vraie pour N entier naturel >= 1, on peut donc remplacer
(1 + ... + n)^2 par 1^3 + .... + n^3
Donc (1 + ... + n + n+1) ^ 2 = 1^3 + .... + n^3 + (n+1)^3
Ce qu'il fallait démontrer.
