Réponse :
b) montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N , 0 < Un < 1
* initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
0 < U0 < 1 or U0 = 0.5 donc 0 < 0.5 < 1 ⇒ P(0) est vraie
* hérédité : supposons qu'au rang n ; P(n) est vrais ⇔ 0 < Un < 1
et montrons que P(n+1) est vraie
0 < Un < 1 ⇔ 2 x 0 < 2Un < 2 x 1 ⇔ 0 < 2Un < 2
0 < Un < 1 ⇔ 0 < U²n < 1² ⇔ 0 < U²n < 1
...................................
0 < 2Un - U²n < 2 - 1
⇔ 0 < 2Un - U²n < 1 ⇔ 0 < Un(2 - Un) < 1 ⇔ 0 < Un+1 < 1
donc P(n+1) est vraie
* conclusion : comme la propriété est vraie au rang n = 0
est que l'héréditaire est vraie, donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 0
Explications étape par étape :
