Bonjour,
1) On a z = 1 +i[tex]\sqrt{3}[/tex]
Donc z^2 = (1 +i[tex]\sqrt{3}[/tex])(1 +i[tex]\sqrt{3}[/tex]) = 1 + 2i[tex]\sqrt{3}[/tex] - 3 = -2 + 2i[tex]\sqrt{3}[/tex]
Et [tex]\frac{2}{z} = \frac{2}{(1+i\sqrt{3})} = \frac{2(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})*(1-i\sqrt{3})}[/tex] = [tex]\frac{2-2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}[/tex] Pour ne pas avoir de nombre complexe au dénominateur, on multiplie par le conjugué)
2) a)Pour démontrer qu'un triangle est rectangle => Théorème de Pythagore
On a AB = [tex]\sqrt{(xB-xA)^2 + (yB-yA)^2} = \sqrt{(-1 -1)^2 + (-\sqrt{3} -\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = 4[/tex]
Et AC = [tex]\sqrt{(xC-xA)^2 + (yC-yA)^2} = \sqrt{(-2 -1)^2 + (2\sqrt{3} -\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = 2\sqrt{3}[/tex]
Donc AB^2 + AC^2 = 16 + 12 = 28
Et BC = [tex]\sqrt{(xC-xA)^2 + (yC-yA)^2} = \sqrt{(-2 +1)^2 + (2\sqrt{3} +\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+27} = 2\sqrt{7}[/tex]
Donc BC^2 = 28
Donc AB^2+AC^2 = 28
ABC est bien rectangle en A.
b) Calculons les longueurs BD et CD :
BD = [tex]\sqrt{(xD-xB)^2 + (yD-yB)^2} = \sqrt{(1/2 +1)^2 + (-\sqrt{3}/2 +\sqrt{3})^2} = \sqrt{9/4+3/4} = \sqrt{3}[/tex]
CD = [tex]\sqrt{(xD-xC)^2 + (yD-yC)^2} = \sqrt{(1/2 +2)^2 + (-\sqrt{3}/2 -2\sqrt{3})^2} = \sqrt{25/4+75/4} = 5[/tex]
On remarque que BD^2 + CD^2 = 3 + 25 = 28 = BC^2
Donc d'après la réciproque de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.
c) E est le milieu de BC donc son abscisse est :
[tex]\frac{xB+xC}{2} = \frac{-1-2}{2} = -3/2[/tex]
Et son ordonnée : [tex]\frac{yB+yC}{2} = \frac{-\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
E a donc pour affixe : [tex]\frac{-3}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i[/tex]
Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Dans les triangles rectangles ABC et BCD, l'hypothénuse est dans les deux cas BC.
Dans le triangle ABC, AE = 1/2 BC
Dans le triangle BCD, DE = 1/2 BC
Comme E est le milieu de BC, On a aussi BE = EC = 1/2 BC.
Donc E est à equidistance des quatres points A,B,C,D.
C'est également démontrable par les calcul.
Bonne journée,
