Bonjour :))
Pour traiter ce type d'exercice, il est nécessaire de connaître les combinaisons linéaires applicables sur les matrices ainsi que les opérations possibles qui leur sont associées.
[tex]Soit\ A \in M_n(\mathbb K),\ si\ on\ ajoute\ \`a\ une\ ligne\ de\ A\ une\ combinaison\\lin\'eaire\ des\ autres\ lignes\ alors\ le\ d\'eterminant\ ne\ change\ pas.[/tex]
[tex]A=\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right][/tex]
[tex](A-\lambda I)=\left[\begin{array}{cccc}-\lambda&1&1&1\\1&-\lambda&1&1\\1&1&-\lambda&1\\1&1&1&-\lambda\end{array}\right][/tex]
[tex]Sur\ la\ 4^{\'eme}\ colonne,\ on\ additionne\ les\ 3\ premi\`eres\\\\(A-\lambda I)=\left[\begin{array}{cccc}-\lambda&1&1&-\lambda+3\\1&-\lambda&1&-\lambda+3\\1&1&-\lambda&-\lambda+3\\1&1&1&-\lambda+3\end{array}\right][/tex]
[tex]On\ peut\ ainsi\ mettre\ en\ facteur\ de\ la\ matrice\ (-\lambda+3)[/tex]
[tex](A-\lambda I)=(-\lambda+3)\left[\begin{array}{cccc}-\lambda&1&1&1\\1&-\lambda&1&1\\1&1&-\lambda&1\\1&1&1&1\end{array}\right][/tex]
[tex]On\ utilise\ maintenant\ la\ derni\`ere\ colonne\ pour\ faire\ appara\^itre\ des\ z\'eros[/tex]
[tex](A-\lambda I)=(-\lambda+3)\left[\begin{array}{cccc}-\lambda-1&0&0&1\\0&-\lambda-1&0&1\\0&0&-\lambda-1&1\\0&0&0&1\end{array}\right][/tex]
[tex]On\ a\ ainsi\ une\ matrice\ triangulaire\ sup\'erieure\ dont\ le\ calcul\\du\ d\'eterminant\ est: a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44}[/tex]
[tex]det(A-\lambda I) = (-\lambda+3)(-\lambda-1)^{3}\\\\On\ cherche\ det(A-\lambda I)=0\\\\ (-\lambda+3)(-\lambda-1)^{3}=0\\\\Les\ valeurs\ propres\ sont:\\\lambda_{01} = 3\\\lambda_{02} = -1[/tex]
Espérant t'avoir apporté des éléments qui te permettent de mieux comprendre. Je te souhaite une bonne continuation :))
