Réponse :
A traiter sans utiliser le discriminant
f(x) = x² - x - 6 et g(x) = - 2 - (x - 2)²
1) f(1) = 1² - 1 - 6 = - 6
2) a) Montrer que, pour tout réel x, f(x) = (x - 1/2)² - 25/4
f(x) = x² - x - 6 = 0
= x² - x - 6 + 1/4 - 1/4
= (x² - x + 1/4) - 6 - 1/4
= (x - 1/2)² - 25/4
b) en déduire l'expression factorisée de f(x)
f(x) = (x - 1/2)² - 25/4
= (x - 1/2)² - (5/2)² identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
= (x - 1/2 + 5/2)(x - 1/2 - 5/2)
= (x + 4/2)(x - 6/2)
f(x) = (x + 2)(x - 3)
c) résoudre f(x) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 3) = 0 produit de facteurs nul
donc x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 ou x - 3 = 0 ⇔ x = 3
3) justifier que l'équation g(x) = 0 n'admet aucune solution réelle
g(x) = 0 ⇔ - 2 - (x - 2)² = 0 ⇔ - (2 + (x - 2)² = 0 ⇔ 2 + (x - 2)² = 0
⇔ (x - 2)² = - 2 impossible car un carré est toujours positif ou nul
donc g(x) = 0 n'admet pas de solutions réelles
4) a) montrer que, pour tout réel x , g(x) = - x² + 4 x - 6
g(x) = - 2 - (x - 2)²
= - 2 - (x² - 4 x + 4)
= - 2 - x² + 4 x - 4
g(x) = - x² + 4 x - 6
b) résoudre dans R f(x) = g(x)
f(x) = g(x) ⇔ x² - x - 6 = - x² + 4 x - 6 ⇔ 2 x² - 5 x = 0
⇔ x(2 x - 5) = 0 ⇔ x = 0 ou 2 x - 5 = 0 ⇔ x = 5/2
Explications étape par étape :
