Réponse :
Bonjour
1) Soit P(n) la propriété : uₙ ≥ √n
Initialisation
u₀ = 0 et √0 = 0 donc u₀ ≥ √0
P(0) est donc vraie
Hérédité
Soit un certain n entier tel que uₙ ≥ √n
⇔ u²ₙ ≥ n
⇔ u²ₙ + 1 ≥ n + 1
⇔ √(u²ₙ + 1) ≥ √(n + 1) (car la fonction racine carrée est croissante)
⇔ uₙ₊₁ ≥ √(n + 1)
P(n+1) est donc vraie
Conclusion
P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n.
Quelque soit n entier, uₙ ≥ √n
2) lim (√n) = +∞
comme uₙ ≥ √n , lim (uₙ) = +∞ (théorème de comparaison)
3) u₀ = 0
u₁ = 1
u₂ = √2
u₃ = √3
u₄ = √4 = 2
u₅ = √5
On peut donc conjecturer que uₙ = √n
4) Soit P(n) la propriété : uₙ = √n
Initialisation
u₀ = 0 et √0 = 0 donc u₀ = √0
P(0) est vraie
Hérédité
Soit un certain n entier tel que uₙ = √n
uₙ₊₁ = √(u²ₙ + 1) (par définition de la suite)
⇔ uₙ₊₁ = √((√n)² + 1) (hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ₊₁ = √(n + 1)
P(n + 1) est donc vraie
Conclusion
La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier
donc quelque soit n entier naturel , uₙ = √n
