On sait calculer les nombres √1+√1 et √1+√1+√1 écrits avec deux et trois racines carrées. On s'interesse à ce nombre avec une infinité de racines carrées. Pour cela on étudie la suite (Un) définie par U0=2 et Un+1=√1+Un (le tout sous la racine)

1) Déterminer par calcul le nombre obtenu lorsqu'il y a deux racines, puis trois.
2) Expliquer pourquoi l'équation x=√1+x (le tout sous la racine) admet une solution positive
On note α cette solution appelée nombre d'or
3) Montrer par récurrence que, pour tout entier n naturel α En déduire que (Un) est convergente
4) Montrer que pour tout entier n naturel, 0≤Un+1-α≤(1/3)(Un-α)
On utilisera la méthode de l'expression conjuguée
5) En déduire par récurrence que, pour tout entier n naturel 0≤Un-α≤(1/3)^n
6) Quelle est la limite de Un ? On montre ainsi que α=√1+√1+√1+.........
7) Déterminer une valeur de α à 10^-10 près

 

 

1) J'ai calculé U1, U2, et U3
2) ON résout x²=1+x
x1=(1-√5)/2 impossible car -
x2=(1+√5)/2 = α
3) On démontre que α < Un+2 < Un+1 < 2
soit α < 1 + Un + 1 < Un+1 < 4
donc α < (√Un+2) < (√Un+1) < 2
Mais pourquoi est-elle convergente ?
4) Je ne sais pas
5) Je ne sais pas
6) lim Un= α mais je ne sais pas comment l'expliquer
7) α= 1.618016542 ) 10^-10 près