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le périmètre de ce rectangle est 18
son demi-périmètre est 9
Si l'une des deux dimensions vaut x, l'autre vaut 9 - x
l'aire est égale à
A(x) = x(9 - x)
on cherche pour quelle valeur de x le produit x(9 - x) est le plus grand
A(x) = 9x - x²
= -x² + 9x
= -(x² - 9x) [ x² - 9x est le début du développement d'un carré ]
= - [x² - 2*(9/2)*x + (9/2)² - (9/2)² ]
= - [x² - 2*(9/2)*x + (9/2)²] + (9/2)² ]
= - [x - (9/2)²] + (9/2)²
= (9/2)² - [x - (9/2)²]
cette aire est égale à (9/2)² - un nombre positif
elle sera la plus grande possible quand le nombre que l'on retranche est nul
c'est à dire lorsque
x - (9/2) = 0
x = 9/2
x = 4,5
si x = 4,5 alors 9 - 4,5 = 4,5
les deux dimensions sont égales
le rectangle est un carré
Parmi tous les rectangles de périmètre 18, quelles sont les dimensions de celui qui a la plus grande aire est le carré (côté : 4,5)
