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M a pour abscisse x : IM = x
Carré
• OMAB est un carré de côté x
Aire OMAB = x²
Rectangle
• OI = 1
OM = x
longueur : MI = 1 - x
largeur : 0,25 IM = 0,25(1 - x)
aire du rectangle : longueur x largeur
aire MICD = 0,25(1 - x) * (1 - x)
les aires seront égales si et seulement si
x² = 0,25(1 - x) * (1 - x)
x² = 0,25(1 - x)²
x² = 0,25 (1 - 2x + x²)
x² = 0,25 - 0,5x + 0,25x²
x² - 0,25x² + 0,5x -0,25 = 0
0,75x² + 0,5x - 0,25 = 0 (on met 0,25 en facteur)
0,25 (3x² + 2x - 1) = 0
3x² + 2x - 1 = 0
-1 est une solution évidente 3(-1)² + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
le produit des racines est c/a = -1/3
l'une vaut -1 ; l'autre vaut 1/3
(on élimine -1)
réponse : 1/3
vérification
• aire carré
1/3 * 1/3 = 1/9
• aire rectangle
0,25(1 - 1/3)² = 0,25 (2/3)² = 0,25 x (4/9)
= (0,25 x 4)/9
= 1/9