Bonjour, j'ai du mal a résoudre cet exercice en maths, si quelqu'un qui est fort en maths ou qui a déjà étudié ce sujet pourrait m'aider cela me servirait beaucoup!
Voici le sujet:
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R vérifiant f(0)=1 et, pour tout réel x, f'(x)=f(x)
On admet l'existence d'une telle fonction. On ne va montrer ici que son unicité.
On suppose qu'il existe deux fonctions f et g définies et dérivables sur R vérifiant f(0)=1, g(0)=1 et, pour tout réel x, f'(x)=f(x) et g'(x)=f(x).
On considère la fonction h définie sur R par h(x)=f(x)/g(x)
(qui est bien définie sur R car la propriété assure que la fonction g ne s'annule jamais)
La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonction dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur R.

Les questions:
a) Pour tout x réel, calcul et simplifie h'(x)
b) Que peut-on en déduire sur la fonction h?
c) Prouve que pour tout réel x on a f(x)=g(x)
d) conclus

Merci pour les personnes qui répondront à ma demande.

Avec ce genre d'énoncé il faut être attentif... on veut montrer l'unicité, donc avant même de lire la première question je sais que l'on va montrer que g = f donc que f/g =1.

a) C'est la dérivé d'un quotient donc h' = fg'-f'g/g^2

Et d'après les hypothèses... Donc h' = 0. Chouette, on se rapproche puisqu'on déduit que h(x)=cste pour tout x ! ça c'est la b)

c) Bon il reste à déterminer la cste, et pour ça évaluons h en 0....Chouette on trouve h(0)=1 et puisque h(x) = cste alors en particulier h(x)=h(0)=1 !

d) Et voilà l'unicité d'après ce que j'ai dit en préambule !

Bon courage,

Toxing.