Schéma du parallélépipède pour t'aider (je te conseille d'en faire afin de bien te repérer)
Explications étape par étape:
Soit x un réel supérieur à 2.
Soit un parallélépipède de dimensions L= x+3; l= x-2 et h=x
On calcule l'aire totale des faces du parallélépipède:
Pour x>2
Ap= 2×L×l + 2×L×h + 2×h×l
= 2[(x+3)(x-2)] + 2[(x+3)(x)] + 2[(x)(x-2)]
=2(x²-2x+3x-6) + 2(x²+3x) + 2(x²-2x)
=2(x²+x-6) + 2(x²+3x) + 2(x²-2x)
=2x²+2x-12 + 2x²+6x + 2x²-4x
=6x²+4x-12
On calcule ensuite l'aire totale des faces du cube
Ac= 6× x
=6x
Soit Ap=Ac:
Ap=Ac <=> 6x²+4x-12 = 6x
<=> 6x²+4x-6x-12 = 0
<=> 6x²-2x-12 = 0
<=> 2(3x²-x-6) = 0
<=> 3x²-x-6 = 0
On détermine le discriminant dans le trinôme du second degré:
Δ = b²-4ac
= (-1)² - 4×3×(-6)
= 1+72
= 73
Δ>0
On en déduit que l'équation 3x²-x-6=0 admet deux solutions sous forme: x1= (-b - sqrt(Δ))/2a et x2= (-b + sqrt(Δ))/2a.
(rappel: sqrt(x) veut dire "racine de x")
Par conséquent:
3x²-x-6=0 <=> x= (-(-1)-sqrt(73))/(2×3) ou x=(-(-1)+sqrt(73))/(2×3)
<=> x= (1 - sqrt(73))/6 ou x=(1+sqrt(73))/6
On remarque que, ((1-sqrt(73))/6 < 0
En effet, 1<sqrt(73) donc 1-sqrt(73)<0
Or, une distance est TOUJOURS strictement positive.
Conclusion:
Ap=Ac <=> x= (1+sqrt(73))/6
La racine de 73 est compris entre 8 et 9. Donc la fraction de la première solution était négatif. En géométrie une distance ne peut pas être négatif ou nul.
J'espère t'avoir bien aidé et que tu as compris comment faire ce DM. C'est vrai qu'il est très long...
Je me suis relu et normalement il n'y a pas d'erreur...
Si tu as des questions n'hésites pas. :)
Bonne journée/soirée et bon courage plus tard! :))
