Réponse :
Bonjour
Montrons d'abord que les termes de (uₙ) sont strictement positifs.
Soit P(n) la propriété : uₙ > 0
Initialisation
u₀ = 1 donc u₀ > 0
P(0) est donc vraie
Hérédité
Soit un certain entier n tel que uₙ > 0
uₙ > 0 (hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ + 1 > 1
⇔ √(uₙ + 1) > 1 ( car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[)
⇔ uₙ₊₁ > 1 > 0
⇔ uₙ₊₁ > 0
P(n) est donc héréditaire
Conclusion
P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n entier.
Les termes de (uₙ) sont donc tous strictement positifs
Montrons maintenant que (uₙ) est croissante
Soit P(n) la propriété : uₙ₊₁ > uₙ
Initialisation
u₀ = 1 et u₁ = √(1 + 1) = √2
√2 > 1 donc u₁ > u₀
P(0) est donc vraie
Hérédité
Soit un certain n entier tel que uₙ₊₁ > uₙ
uₙ₊₁ > uₙ (hypothèse de récurrence
⇔ uₙ₊₁ + 1 > uₙ + 1
⇔ √(uₙ₊₁ + 1) > √(uₙ + 1) (car la fonction racine carrée est croissante)
⇔ uₙ₊₂ > uₙ₊₁
P(n+1) est donc vraie. P(n) est héréditaire
Conclusion
P(n) est vraie au rang 0, et elle est héréditaire. Pour tout n entier, on a donc
uₙ₊₁ > uₙ
La suite (uₙ) est donc strictement croissante.
