Réponse :
{U0 = 1 {V0 = 2
{∀n∈N, Un+1 = (3Un + 2Vn)/5 {∀n∈N , Vn+1 = (2Un + 3Vn)/5
1) calculer U1 ; U2 ; V1 et V2
U1 = (3U0 + 2V0)/5 V1 = (2U0 + 3V0)/5 = (2+6)/5 = 8/5
= (3 + 4)/5
U1 = 7/5
U2 = (3U1 + 2V1)/5 = (3(7/5)+2(8/5))/5 = 37/25
V2 = (2U1 + 3V2)/5 = (2(7/5) + 3(8/5))/5 = 38/5
2) dn = Vn - Un pour tout entier naturel n
a) montrer que la suite (dn) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme
dn+1/dn = (Vn+1 - Un+1)/(Vn - Un)
= [((2Un + 3Vn)/5) - ((3Un + 2Vn)/5)]/(Vn -Un)
= (2Un + 3Vn - 3Un - 2Vn)/5(Vn - Un)
= (Vn - Un)/5(Vn - Un) = 1/5
donc (dn) est une suite géométrique de raison q = 1/5 et de premier terme d0 = V0 - U0 = 2 - 1 = 1
b) en déduire l'expression de dn en fonction de n
dn = 1 x (1/5)ⁿ
3) Sn = Vn + Un, pour tout entier naturel n
a) calculer S0 ; S1 et S2. Que peut-on conjecturer ?
S0 = V0 + U0 = 2+1 = 3
S1 = V1 + U1 = 8/5 + 7/5 = 15/5 = 3
S2 = V2 + U2 = 38/25 + 37/25 = 75/25 = 3
S0 = S1 = S2 = ....Sn = 3
pour tout entier naturel n ; Sn = 3
b) montrer que; pour tout entier naturel n, Sn+1 = Sn
Sn+1 = Vn+1 + Un+1
= (2Un + 3Vn)/5) + (3Un + 2Vn)/5
= (2Un + 3Vn + 3Un + 2Vn)/5
= (5Vn + 5Un)/5
= 5(Vn + Un)/5
Sn+1 = Vn + Un = Sn
4) en déduire une expression de Un et Vn en fonction de n
Sn = Vn + Un = 3 ⇔ Vn = 3 - Un
dn = Vn - Un = 1 x (1/5)ⁿ d'où Un = Vn - (1/5)ⁿ
donc Un = 3 - Un - (1/5)ⁿ ·⇔ 2Un = 3 - (1/5)ⁿ ⇔ Un = 3/2 - 1/2)*(1/5)ⁿ
Vn = 3 - 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ = 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ
5) déterminer en fonction de n
a) Tn = U0 + U1 + ..... + Un
= 3/2 - 1/2(1/5)⁰ + 3/2 - 1/2(1/5)¹ + ....... + 3/2 - 1/2(1/5)ⁿ
= 3/2(1 - 1/3(1/5)⁰ + 1 - 1/3(1/5)¹ + ....... + 1 - 1/3(1/5)ⁿ)
= 3/2(1 + 1 + ...+ 1 - 1/3(1 + 1/5 + ......+ (1/5)ⁿ)
= 3/2( n - 1/3(1 - (1/5)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/5)
= 3/2) n - 5/8(1 - (1/5)ⁿ)
b) Wn = V0 + V1 + .... + Vn
= 3/2 + 1/2(1/5)⁰ + 3/2 + 1/2(1/5)¹ + .......+ 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ
= 3/2( 1 + 1/3(1/5)⁰ + 1 + 1/3(1/5)¹ + ...... + 1 + 1/3(1/5)ⁿ)
= 3/2) n + 5/8(1 - (1/5)ⁿ)
Explications étape par étape :
