Réponse :
Bonjour
Soit P(n) la propriété : 1 + 2+ 3 + .... + n = n(n + 1)/2
Initialisation
Pour n = 1 la somme est égale à 1 , et 1(1 + 1)/2 = 2/2 = 1
P(0) est donc vraie
Hérédité
Soit un entier k tel que 1 + 2 + 3 +.... + k = k(k + 1)/2 (hyp. de récurrence)
⇔ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)
= k(k + 1)/2 + 2(k +1)/2
= [k(k + 1) + 2(k + 1)]/2
= [(k + 1)(k + 2)]/2
P(k + 1) est donc vraie
La propriété P(n) est héréditaire
Conclusion
La propriété P(n) est vraie au rang 1 , et elle est héréditaire.
Donc pour tout n entier naturel, on a :
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
