Réponse :
Un = 5 - (n + 2)² n ∈ N
a) exprimer Un+1 - Un en fonction de n
Un+1 = 5 - ((n+1) + 2)²
= 5 - (n + 3)²
Un+1 - Un = 5 - (n + 3)² - (5 - (n + 2)²)
= 5 - (n² + 6 n + 9) - (5 - (n² + 4 n + 4))
= 5 - n² - 6 n - 9 - (5 - n² - 4 n - 4)
= 5 - n² - 6 n - 9 - 5 + n² + 4 n + 4
= - 2 n - 10
Un+1 - Un = - 2 n - 10
b) en déduire le sens de variation de la suite (Un)
Un+1 - Un = - 2 n - 10
= - (2 n + 10) or n ≥ 0 ⇔ 2 n ≥ 0 ⇔ 2 n + 10 ≥ 10 ⇔
2 n + 10 ≥ 0 donc - (2 n + 10) ≤ 0
donc Un+1 - Un ≤ 0 ⇒ la suite (Un) est décroissante sur N
Explications étape par étape :
