Bonjour,
S₁ = 1³ = 1
S₂ = 1³ + 3³ = 1 + 27 = 28
S₃ = 1³ + 3³ + 5³ = 1 + 27 + 125= 153
2) Hypothèse de récurrence : ∀n on a n²(2n² - 1)
Initialisation : pour n = 1 ⇒ S₁ = 1²(2 × 1² - 1) = 1
Donc S₁ est vraie
Hérédité : On suppose que Sₙ est vraie, montrons que Sₙ₊₁ l'est aussi
(n + 1)²(2(n + 1)² - 1)
= (n² + 2n + 1)(2(n² + 2n + 1) - 1)
= (n² + 2n + 1)(2n² + 4n + 1)
= 2n⁴ + 8n³+ 11n² + 6n + 1
n²(2n² - 1) + (2(n + 1) - 1)³ ⇒ tu développes et tu retrouves 2n⁴ + 8n³+ 11n² + 6n + 1
Conclusion : S₁ est vraie
Sₙ ⇒ Sₙ₊₁ La propriété est vraie ∀n
