Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir,
1) voir figure
2 ) La nature du quadrilatère A I K J est un parallélogramme
3) Démonstration :
Montrons que IK est parallèle à AC et donc a AJ :
1) aire de BKI = 1/2 * KH * BI et aire de IKA = 1/2 *KH * IA
comme BI = IA par construction les aires des 2 triangles BKI et IKA sont égales
2) aire de KBI = 1/2 * IH' * BK et aire de KIC = 1/2 *IH' * KC
comme BK = KC par construction les aires des 2 triangles KBI et KIC sont égales
3) des 2 études précédentes on en tire que :
Aire de KIA = 1/2 * AH1 * IK = aire de KIC = 1/2 * CH1' * IK
donc AH1 = CH1' donc AC parallèle a IK et donc AJ parallèle à IK
Montrons que AJ = IK :
Utilisons Thalès : BI / BA = BK / BC = IK / AC = 1/2 donc IK = AC / 2 or I milieu de AC donc IK = AJ = JC
Nous savons que :
si un quadrilatère a deux de ses côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
C'est le cas pour IK et AJ donc le quadrilatère A I K J est un parallélogramme
