Réponse :
ex14
1) soit un entier a tel que a² est pair, Montrer que le nombre a est pair
montrer a² pair ⇒ a pair
donc par contraposée
⇔ a pas pair ⇒ a² pas pair
⇔ a impair ⇒ a² impair
soit a impair ⇒ a = 2 k + 1 avec k ∈ Z
donc a² = (2 k + 1)² = 4 k² + 4 k + 1
= 2(2 k² + 2 k) + 1
= 2 k' + 1 avec {k' = 2 k² + 2 k
{k' ∈ Z
donc a² impair
donc a² pair ⇒ a pair
2) Montrer qu'au moins un de ces nombres est pair
soit a ; b et c les longueurs des côtés du triangle rectangle
et c : hypoténuse
si a est pair et b est pair alors a² est pair et b² est pair donc c² = a² + b² est pair ; on a déjà montré en 1) par contraposée que si c² est pair alors c est pair
si a est impair ⇒ a² est impair et si b impair ⇒ b² est impair
c² = a²+b² = (2k+1)² + (2k' + 1)²
= 4 k² + 4 k + 1 + 4 k'²+ 4 k' + 1
= 2(2k²+ 2k'² + 2 k + 2 k' + 1)
= 2 k" avec k " = 2k²+ 2k'² + 2 k + 2 k' + 1
k" entier
puisque c² est donc par contraposée c pair
Explications étape par étape :