Bonjour,
a) Pour AL-Khwarizmi, le mot "racine" correspond à l'inconnue x dans l'équation (E).
Quelle solution de l'équation obtient-il ?
Pour cela, il faut bien comprendre le texte.
On part de :
x² + 10x = 39
"On prend la moitié des racines" : 5
"Qu'on multiplie par lui-même pour obtenir 25" : 5² = 25
"On ajoute 39, on trouve 64" : 25 + 39 = 64
"On prend la racine carrée de 64, soit 8" : = 8
"On enlève la moitié du nombre de racines, soit 5" : 8 - 5 = 3
Le résultat de cette équation est donc 3.
(En effet, 3² + 10 * 3 = 39)
b)
- Aire du carré violet : x * x = x²
- Aire d'un carré bleu foncé : 5 * x = 5x
Il y en a deux, donc : 5x * 2 = 10x
La somme x² + 10x correspond donc à l'aire du carré violet en plus des aires des deux carrés bleu foncé.
- Aire du grand carré entier : (x - 5)²
- Aire du carré bleu clair : 5² = 25
Conclusion : L'aire du grand carré moins l'aire du carré bleu clair correspond donc bien à la somme de l'aire du carré violet et des aires des deux carrés bleu foncé.
Donc : x² + 10x = (x - 5)² - 25
c) Il faut résoudre l'équation x² + 10x = 39 ⇔ x² + 10x - 39 = 0
On a une équation du second degré de la forme [tex]ax^{2} +bx+c=0[/tex] avec [tex]a=1[/tex] et [tex]b=10[/tex] et [tex]c=-39[/tex].
Il faut utiliser le discriminant (appelé Δ) qui se calcule avec cette formule.
Δ = [tex]b^{2} -4ac[/tex]
= 10² - 4 * 1 * (-39)
= 100 - 4 * (-39)
= 100 + 156
= 256
Comme Δ > 0, l'équation admet 2 solutions.
Ces dernières se calculent avec ces formules :
[tex]x_{1}=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}[/tex]
= [tex]\frac{-10+\sqrt{256} }{2*1}[/tex]
= [tex]\frac{-10+16}{2}[/tex]
= [tex]\frac{6}{2}=3[/tex]
[tex]x_{2}=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}[/tex]
= [tex]\frac{-10-\sqrt{256} }{2}[/tex]
= [tex]\frac{-10-16}{2}[/tex]
= [tex]\frac{-26}{2}[/tex]
= -13
D'où S = {-13 ; 3}
d) Al-Khwarizmi n'a donc pas trouvé toutes les solutions réelles de l'équation (E). En effet, -13 est également solution de l'équation (E) et pas seulement 3.
En espérant t'avoir aidé(e).
