Réponse :
Partie A
u fonction polynôme de degré 2 définie sur R par
u(x) = 2 x² - 16 x + 64
1) montrer que, pour tout réel x , u(x) = 2(x - 4)² + 32
u(x) = 2 x² - 16 x + 64
= 2(x² - 8 x + 32)
= 2(x² - 8 x + 32 + 16 - 16)
= 2(x² - 8 x + 16 + 16)
= 2((x - 4)² + 16)
= 2(x - 4)² + 32
2) établir le tableau de variation de u
x - ∞ 4 + ∞
u(x) + ∞ →→→→→→→→→→→→ 32 →→→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
Partie B
1) a) exprimer AC en fonction de x
AB + AC = 8 ⇔ x + AC = 8 ⇔ AC = 8 - x
b) en déduire que x ∈ [0 ; 8]
AC = 8 - x
pour x = 0 ⇒ AC = 8
pour x = 8 ⇒ AC = 0
donc x ∈ [0 ; 8]
2) déterminer en fonction de x le périmètre f(x) du triangle ABC
P = AB+AC+BC
BC² = AB² + AC² = x² + (8 - x)² = x² + 64 - 16 x + x² = 2 x² - 16 x + 64
BC = √(2 x² - 16 x + 64)
donc f(x) = 8 + √(2 x² - 16 x + 64)
3) établir le tableau de variation de f sur [0 ; 8]. on admettra que pour
u(x) ≥ 0 les fonctions u et √u ont les mêmes variations
f(x) = 8 + √u(x)
x 0 4 9
u(x) f(0)→→→→→→→→→ 32 →→→→→→→→→→→ f(9)
décroissante croissante
Explications étape par étape :
