Réponse :
Bonjour
Soit Pₙ la propriété : uₙ = 3 × 2ⁿ + 1
Démontrons que si Pₙ est vraie, Pₙ₊₁ est également vraie
Initialisation
u₀ = 4 et 3 × 2⁰ + 1 = 4
donc P₀ est vraie
Hérédité
Soit un certain n tel que :
uₙ = 3 × 2ⁿ + 1 (hypothèse de récurrence)
⇔ 2uₙ = 2(3 × 2ⁿ + 1)
⇔ 2uₙ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 2
⇔ 2 uₙ - 1 = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 1
⇔ uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 1
Pₙ₊₁ est donc vraie
Conclusion
La propriété Pₙ est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n
