Réponse :
1) démontrer que x → x² est croissante sur [0 ; + ∞[
soit deux réels a et b avec a < b
f(a) = a²
f(b) = b²
....................
f(a) - f(b) = a² - b² = (a - b)(a + b) puisque a ≥ 0 et b ≥ 0 ⇒ (a + b) ≥ 0
or a ≤ b ⇔ a - b ≤ 0 donc le produit (a - b)(a + b) ≤ 0
⇔ f(a) - f(b) ≤ 0 ⇔ f(a) ≤ f(b) donc f est croissante sur [0 ; + ∞[
2) démontrer que x→ 1/x est décroissante sur ]0 ; + ∞[
a < b
f(a) = 1/a
f(b) = 1/b
.........................
f(a) - f(b) = 1/a - 1/b ⇔ f(a) - f(b) = (b - a)/ab or a > 0 et b > 0 donc ab > 0
sachant que a < b ⇔ 0 < b - a ⇔ b - a > 0 donc (b - a)/ab > 0
⇔ f(a) - f(b) > 0 ⇔ f(a) > f(b) donc f est décroissante sur ]0 ; + ∞[
3) démontrer que x → √x est croissante sur ]0 ; + ∞[
a > 0 et b > 0 tel que a < b
f(a) = √a
f(b) = √b
..........................
f(a) - f(b) = √a - √b ⇔ f(a) - f(b) = (√a - √b)(√a + √b)/(√a + √b)
⇔ f(a) - f(b) = (a - b)/(√a + √b) or √a + √b > 0
sachant que a < b ⇔ a - b < 0 donc le quotient (a-b)/(√a+√b) < 0
⇔ f(a) - f(b) < 0 ⇔ f(a) < f(b) donc f est croissante sur ]0 ; + ∞[
Explications étape par étape :
