Réponse :
Explications étape par étape :
■ "10 % des tigres meurent"
--> coefficient = 1 - 0,1o = 0,9o
--> "0,9" dans l' expression de Un+1
■ "5 nouveaux tigres"
--> "+5" dans l' expression de Un+1
■ tableau-résumé :
les nb de tigres sont arrondis à l' entier ! ☺
année --> 2o19 2o20 2o21 2o22 2o23
Un --> 100 95 91 87 83 tigres
Vn --> 50 45 41 37 33
■ 3a) :
Vn = Un - 50 = 0,9Un-1 + 5 - 50
= 0,9Un-1 - 45
= 0,9 (Un-1 - 50)
= 0,9 Vn-1 .
La suite (Vn) est donc bien une suite géométrique
de raison 0,9 et de terme initial Vo = 50 .
■ 3b) :
Vn = Vo x 0,9^n = 50 x 0,9^n
donc Un = 50 x 0,9^n + 50 = 50 (0,9^n + 1) .
vérif : Uo = 100 ; U1 = 95 ; U2 = 40,5 ≈ 41 ; ...
■ 3c) limites :
LimVn = 0 puisque la raison positive est inférieure à 1
donc LimUn = 50 ( tigres ) .
autre méthode :
Un+1 = 0,9Un + 5 donne
Lim = 0,9 Lim + 5 donne 0,1 Lim = 5
Lim = 50 .
■ 3d) interprétation :
dès que le nb de tigres sera de 50 , on aura 10%
de tigres qui meurent ( soit 5 tigres ) --> il en resterait
donc 45 , mais on ajoute 5 nouveaux tigres
--> il y aura donc encore 45 + 5 = 50 tigres !
■ 3e) en quelle année aura-t-on 50 tigres ?
on doit résoudre 50 x 0,9^n + 50 ≈ 50,5
50 x 0,9^n ≈ 0,5
0,9^n ≈ 0,01
n ≈ Log0,01 / Log0,9
n ≈ 43,7
on retient n = 44 --> année = 2o19 + 44 = 2o63
vérif : U43 = 50 x 0,9^43 + 50 ≈ 50,54 --> 51 tigres !
U44 = 50 x 0,9^44 + 50 ≈ 50,48 --> 50 tigres !
