Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie
pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]
Etape 1 - Initialisation
pour n = 0 [tex]u_0=1[/tex]
et [tex](0+1)^2=1^2=1[/tex]
Donc c'est vrai au rang 0
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang p et démontrons alors que cela reste vrai au rang p+1
Hypothese de Récurrence est [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]
et nous devons montrer que [tex]u_{p+1}=((p+1)+1)^2=(p+2)^2[/tex]
Nous savons que
[tex]u_{p+1}=u_p+2p+3[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]
cela donne
[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3[/tex]
Développons
[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3=p^2+2p+1+2p+3=p^2+4p+4=(p+2)^2[/tex]
donc cela reste vrai au rang p+1
Etape 3 - conclusion
Nous venons donc de démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie
pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]
Merci
