On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
Uo = 0 Vo = 2
et
Un+1 = 2Un+Vn Vn+1 = Un+2Vn
_______ _______
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Déterminer en fonction de n : Un = Uo+U1+...+Un et Vn = Vo+V1+...+Vn
Il y a deux manières de faire :
A)avec une matrice
on a si Xn désigne le vecteur de R² (Un,Vn) : Xn=A.X(n-1) où A désigne la matrice
(2/3 1/3)
(1/3 2/3)
Celle-ci s'écrit comme P.A'P-1 , A' diagonale
(1 0)
(0 1/3)
où P est la matrice
(1 1)
(1 -1)
et P-1 son inverse
(1/2 1/2)
(1/2 -1/2)
ainsi Xn=P.A'^n.P-1.X0 ce qui méne à Un=1-1/3^n et V,=1+1/3^n
b Par récurrence :
U0 est bien 1-1/3^0 et V0 est bien 1+1/3^0
et si Un=1-1/2^n et Vn=1+1/3^n les relations de calcul de U(n+1) et V(n+1) permettentde prouver l'hérédité.