Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1)
a)
L'aire d'un triangle est A= (b × h) /2 avec b la base et h la hauteur
sur le dessin on va nommer le point qui appartient à [MO] le point H issue de la hauteur issue du sommet P
on va choisir comme unité de longueur le cm pour tout l'exercice
Le triangle POM a pour aire A = (b × h)/é avec b = MO = 13 cm et h = PH = 6 cm
donc application numérique
A = (MO × PH) /2 = (13 × 6)/2 = 78/2 = 39 cm²
L'aire du triangle POM est 39 cm²
b)
Pour démonter que le triangle est rectangle on va d'abord rechercher les longueurs PO et MP
nous allons d'abord trouver la longueur PO
dans le triangle HPO rectangle en H, et d'après le théorème de Pythagore, nous avons
HP² + HO² = PO²
or HP = 6cm et HO= 9 cm
donc application numérique
6² + 9² = PO²
36 + 81 = PO²
117 = PO²
√117 = PO ≈ 10,82 cm
ainsi PO = √117 cm
recherchons la longueur MP
Dans le triangle HPM rectangle en H, et d'après le théorème de Pythagore, nous avons
HP² + HM² = PO²
or HP = 6cm et HM= 4 cm
donc application numérique
6² + 4² = PM²
36 + 16 = PM²
52 = PM²
√52 = PM ≈ 7,21 cm
ainsi PM = √52 cm
ainsi dans le triangle POM, nous connaissons les trois longueurs du triangle qui sont
MO = 13 cm
PO = √117 cm
PM = √52 cm
d'après la réciproque du théorème de Pythagore, nous avons
PO² + PM² = (√117)² + (√52)² = 117 + 52 = 169
MO² = 13² = 169
Nous avons bien PO² + PM² = MO² donc le triangle POM est rectangle en P
c)
L'aire du triangle POM est A = (b × h)/2 avec b = PM = √52 cm et h = PO = √117 cm
Application numérique
A = (PM× PO)/2 = (√52 × √117) /2 = √6084 /2 = 78/2 = 39 cm²
d) d'après a) et c) nous pouvons écrire que
√52 × √117= √6084 ou 6084 est un entier
e) la décomposition de 6084 est
6084 = 52 × 117 = 4 × 13 × 9 × 13 = 2² × 3² × 13²
6084 = 2² × 3² × 13²
f) nous venons de voir 6084 = 52 × 117 =2² × 3² × 13²= (2 × 3 × 13) ²
donc √117 × √52 = √(2 × 3 × 13) ²= 78
g) Nous allons conjecturer que √117 × √52 = √(117 × 52)
2)
a) a et b doivent être positifs car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas sur R
b)
(√(a×b))² = a × b
(√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = a × b
donc √(a × b) = √a × √b
