Réponse :
résoudre l'équation z⁵ = z⁻
z⁵ = z⁻ ⇔ module : |z⁵| = |z⁻| et argument : arg(z⁵) = arg(z⁻) + 2kπ ; k ∈ Z
⇔ |z|⁵ = |z| (car |z⁻| = |z|) et 5arg(z) = - arg(z) + 2kπ ; k ∈Z
⇔ |z|⁵ - |z| = 0 ⇔ (|z|⁴ - 1)z = 0 et 6arg (z) = 2kπ ; k ∈Z
⇔ |z|⁴ - 1 = 0 ou z = 0 et arg(z) = kπ/3 ; k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
⇔ z = 0 ou |z| = 1 et et arg(z) = kπ/3 ; k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
cette équation possède donc 6 solutions
z = 0 et zk = e^ikπ/3 avec k ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
z = 0
z0 = e⁰ = 1
z1 = e^iπ/3 = 1/2 + i√3/2
z2 = e^i2π/3 = - 1/2 + i√3/2
z3 = e^iπ = - 1
z4 = e^i4π/3 = - 1/2 - i√3/2
z5 = e^i5π/3 = 1/2 - i√3/2
Explications étape par étape :
