Réponse :
f(x) = (3 - x)eˣ + 1
1) montrer que pour tout nombre réel x appartenant à R
f '(x) = (2 - x)eˣ
f '(x) = (uv)' = u'v + v'u
u = 3 - x ⇒ u' = - 1
v = eˣ ⇒ v' = eˣ
f '(x) = - eˣ + (3 - x)eˣ = - eˣ + 3eˣ - xeˣ = 2eˣ - xeˣ = (2 - x)eˣ
2) étudier les variations de f sur R
f '(x) = (2 - x)eˣ or pour tout x de R ; eˣ > 0
le signe de f '(x) dépend du signe de 2 - x
x - ∞ 2 + ∞
f'(x) + 0 -
f(x) 1 →→→→→→→→→→→→→→e²+1 →→→→→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
3) a) montrer que T a pour équation
y = - e³ x + 3e³ + 1
La tangente T à Cf au point d'abscisse 3 a pour équation
y = f(3) + f '(3)(x - 3)
f(3) = 1
f '(3) = - e³
donc y = 1 - e³(x - 3)
= 1 - e³ x + 3e³
donc y = - e³ x + 3e³ + 1
b) déterminer les coordonnées du point d'intersection de T et de l'axe des abscisses
y = 0 ⇔ - e³ x + 3e³ + 1 =, 0
⇔ e³ x = 3e³ + 1 ⇔ x = (3e³ + 1)/e³ = 3 + 1/e³
les coordonnées sont : (3 + 1/e³ ; 0)
Explications étape par étape :