Réponse :
soient a , b ∈ R tels que : |(3 a - 11)/(a - 2)| < 2 et |(2 b - 3)/(b+1) - 5| < 1
1) montrer que : 3 < a < 7 et - 6 < b < - 2
|(3 a - 11)/(a - 2)| < 2 on pose A = (3 a - 11)/(a - 2)
si A > 0 alors (3 a - 11)/(a - 2) < 2 ⇔ 3 a - 11 < 2(a - 2)
⇔ 3 a - 11 < 2 a - 4 ⇔ 3 a - 2 a < - 4 +11 ⇔ a < 7
si A < 0 alors - (3 a - 11)/(a - 2) < 2 ⇔ - 3 a + 11 < 2 a - 4
⇔ - 5 a < - 15 ⇔ a > 15/5 ⇔ a > 3
donc on a bien 3 < a < 7
|(2 b - 3)/(b+1) - 5| < 1 ⇔ |(- 8 - 3 b)/(b+1)| < 1 on pose B = (- 8 - 3 b)/(b+1)
si B > 0 alors (- 8 - 3 b)/(b+1) < 1 ⇔ - 8 - 3 b < b + 1 ⇔ - 4 b < 9
⇔ b > - 9/4 > - 6 donc b > - 6
si B < 0 alors - (- 8 - 3 b)/(b+1) < 1 ⇔ 8 + 3 b < b + 1 ⇔ 2 b < - 7
⇔ b < - 7/2 < - 2 donc b < - 2
donc on obtient - 6 < b < - 2
2) encadrer les nombres a + b + 1 et ab
3 < a < 7
- 6 < b < - 2
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3 - 6 < a + b < 7 - 2 ⇔ - 3 < a + b < 5 ⇔ 1 - 3 < a + b + 1 < 5 + 1
⇔ - 2 < a + b + 1 < 6
3 < a < 7
- 6 < b < - 2
.............................
3 x - 6 < a x b < 7 x - 2 ⇔ - 18 < ab < - 14
3) en déduire une comparaison des deux nombres
2 a + b et √(3 a² + b² + 3 ab)
3 < a < 7 ⇔ 6 < 2 a < 14
- 6 < b < - 2 ⇔ - 6 < b < - 2
............................
0 < 2 a + b < 12
3 < a < 7 ⇔ 3² < a² < 7² ⇔ 27 < 3 a² < 149
- 6 < b < - 2 ⇔ (- 6)² < b² < (- 2)² ⇔ 2 < b² < 36
- 18 < ab < - 14 ⇔ - 54 < 3 ab < - 42
2 < b² < 36
- 54 < 3 ab < - 42
....................................
- 52 < b² + 3 ab < - 6
27 < 3 a² < 149
...................................
- 25 < 3 a² + b² + 3 ab < 143
Explications étape par étape :
