Réponse :
pour tout x de [1 ; + ∞[ on pose A = √(1 + 1/x)
1) Montrer que A - 1 = 1/x(A+1)
A - 1 = √(1 + 1/x) - 1
= (√(1 + 1/x) - 1)(√(1 + 1/x) + 1)/(√(1 + 1/x) + 1)
= ((1 + 1/x) - 1)/(√(1 + 1/x) + 1)
= 1/x/(√(1 + 1/x) + 1) = 1/x(√(1 + 1/x) + 1 ) puisque A = √(1 + 1/x)
donc A - 1 = 1/x(A + 1)
2) Montrer que 2 ≤ 1 + A ≤ 3
x ∈ [1 ; + ∞[ ⇔ x ≥ 1 ⇔ 1/x ≤ 1 ⇔ 1 + 1/x ≤ 2 ⇔ √(1 + 1/x) ≤ √2
⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≤ √2 + 1 ≤ 3 ⇔ 1 + A ≤ 3
x > 0 ⇔ 1/x > 0 ⇔ 1 + 1/x ≥ 1 ⇔ √(1 + 1/x) ≥ 1 ⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≥ 2
⇔ 1 + A ≥ 2 donc 2 ≤ 1 + A ≤ 3
en déduire que 1 + 1/3 x ≤ A ≤ 1 + 1/2 x
sachant que 2 ≤ 1 + A ≤ 3 ⇔ 2 x ≤ x(1 + A) ≤ 3 x or x > 0
⇔ 1/2 x ≥ 1/x(1+A) ≥ 1/3 x ⇔ 1/3 x ≤ 1/x(1 + A) ≤ 1/2 x or A - 1 = 1/x(1+A)
donc 1/3 x ≤ A - 1 ≤ 1/2 x ⇔ 1 + 1/3 x ≤ A - 1 + 1 ≤ 1 + 1/2 x
⇔ 1 + 1/3 x ≤ A ≤ 1 + 1/2 x
Explications étape par étape :
