on peut supposer qu'il s'agit de f(x)=2*ln(x+3)/(x+3)
cette fonction est >0 sur [n,n+1] et décroissante sur R+
(dérivée du signe de 1-ln(x+3))
donc pour tout n et n<=x<=n+1, f(n+1)<=f(x)<=f(n)
donc en intégrant :
f(n+1)<=Un<=f(n) car (n+1)-n=1
comme limite de f(n)=0,
Un tend aussi vers 0 (th des Gendarmes)
F' est egal à f(x) donc F est une primitive de f et
donc F(n)-F(0)
=(ln((n+3)/3))²
=(ln(1+n/3))²
Il est clair que Un=I(n+1)-In donc par télescopage de ces égalités :
Sn=I(n+1)+I(0)=I(n+1) car I0=ln(1)=0
Sn vaut donc (ln((4/3)+n/3))² et tend vers +infini
