Réponse :
Explications étape par étape :
Un est >0
Un+1 / Un = (1 + 1/n)^n+1 / (1 + 1/n) ^n = (1 + 1/n)^n X (1 + 1/n)/ (1 + 1/n) ^n
= (1 + 1/n) > 1
Donc Un+1 > Un
et donc la suite est croissante.
Réponse :
trouve la monotonie de cette suite
∀n∈N*∈ ; Un = (1 + 1/n)ⁿ
Un+1 = (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹
Un+1/Un = (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹/(1 + 1/n)ⁿ
= [(n + 2)/(n + 1)]ⁿ⁺¹/[(n + 1)/n)]ⁿ
= [(n + 2)/(n + 1)]ⁿ x (n+2)/(n+1)[(n + 1)/n)]ⁿ
= [(n+2)/(n+1)/(n + 1)/n]ⁿ x (n+2)/(n+1)
= [n(n+2)/(n+1)²]ⁿ x (n+2)/(n+1)
comme n > 0 on a une suite de termes positifs donc Un+1/Un > 0
pour n = 1 ⇒ [1(1+2)/(1+1)²] x (1+2)/(1+1) = 3/4) x 3/2 = 9/8
pour n = 2 ⇒ [2(2+2)/(2+1)²]² x (2+2)/(2+1) = (8/9)² x 4/3 = 64/81 x 4/3 = 256/243 > 1
Donc la suite (Un) est croissante sur N*
Explications étape par étape :