Réponse :
a) f(0e)=f(0e+0e)=f(0e)+f(0e)
puis en soustraillant 0e de chaque coté, tu obtient f(0e)=0f
pour montrer que f(A) est un sous espace vectoriel, d'apres ce qui précède tu a deja que 0f y appartient puis tu verfie les propriétée d'un sev en disant a chaque fois
" soit y dans f(A)
par definition, il existe x dans A tel que y = f(x) "
et en utilisant la linéarité a chaque fois , les propriétés tombent toutes seules.
meme chose pour f-1 (B) ca devrait tomber tout seul. il suffit de connaitre les definitions
b) supposons que Ker f ={0e} alors, si on a f(x)=f(y) alors par linéarité , f(x-y)=0
et donc, comme Ker f ={0e} on a x-y=0 soit x=y est donc f est injective.
réciproquement, supposons que f soit injective, soit x un element de ker f
alors, f(x)=0 mais on a aussi f(0)=0 donc, par injectivité, x=0 ainsi, ker f est réduit a 0
on a bien l'équivalence demandée
je te laisse faire la deuxieme partie avec la surjectivité mais c'est le meme genre de raisonnement.
dit moi si tu bloque
