Explications étape par étape:
Bonsoir, il s'agit d'une méthode classique. Si tu observes bien, tu as un facteur sinus au carré, un autre simple. Si tu poses X = sin(x), tu obtiens une inéquation du 2nd degré, telle que :
Rac(2)*X^2 - (Rac(2) + 1)*X + 1 >= 0
On commence par déterminer le discriminant de l'expression : D = [- (Rac(2) + 1))]^2 - 4*1*Rac(2) = (Rac(2) + 1)^2 - 4*Rac(2) = 2 + 2*Rac(2) + 1 - 4*Rac(2) = 3 - 2*Rac(2) > 0.
On peut donc déjà déterminer les 2 solutions qui annulent l'expression du 2nd degré :
X1 = [(Rac(2) + 1) - Rac(3 - 2*Rac(2))] / (2*Rac(2))
et X2 = [(Rac(2) + 1) + Rac(3 - 2*Rac(2))] / (2*Rac(2))
avec évidemment, X1 < X2.
Le coefficient devant X^2 étant positif, cette expression est une parabole, orientée vers le haut, elle est donc positive ou nulle sur ]-infini ; X1] U [X2 ; + infini[
Ensuite, comment procéder ? Comme tu as posé X = sin(x), tu te retrouves avec des expressions horribles, en essayant d'utiliser la fonction arcsinus. Mais tu n'as pas le choix, il n'y a aucun autre moyen de s'en sortir.
L'ensemble des solutions sera donc :
S = ]-infini ; arcsin(X1)] U [arcsin(X2) ; +infini[.
Bonne soirée