Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1a) 1 et 4 sont racines du polynome x²-5x+4 ce sont donc des valeurs interdites. Donc Df=IR\{1;4}
1b) f(x)=a/(x-1)+b(x-4)=[a(x-4)+b(x-1)]/[(x-1)(x-4)]
f(x)=(ax-4a+bx-b)/(((x-1)(x-4))=-3x/((x1)(x-4))
Par analogie on a :
-4a-b=0 et a+b=-3
On en déduit que b=-4a et donc que a-4a=-3 soit a=1 et b=-4
Donc f(x)=1/(x-1)-4/(x-4)
a) f'(x)=-1/(x-1)²+4/(x-4)²
f'(x)=(-(x-4)²+4(x-1)²)/((x-1)²(x-4)²)
f'(x)=(-x²+8x-16+4x²-8x+4)/((x-1)²(x-4)²)
f'(x)=(3x²-12)/((x-1)²(x-4)²)
f'(x)=3(x²-4)/((x-1)²(x-4)²)
f'(x)=3(x+2)(x-2)/((x-1)²(x-4)²)
(x-1)²(x-4)² est toujours positif donc le signe de f'(x) dépend de (x+2)(x-2).
On fait le tableau de signe :
x -∞ -2 1 2 4 +∞
x+2 - 0 + II + + II +
x-2 - - II - 0 + II +
f'(x) + 0 - II - 0 + II +
2b) Tableau de variation :
x -∞ -2 1 2 4 +∞
f(x) croit 1/3 décroit II décroit 3 croit II croit
3) Quand x tend vers 1+, 1/(x-1) tend vers +∞ et -4/(x-4) tend vers 4/3
Donc [tex]\lim_{x \to 1+} f(x) =[/tex] +∞
Quand x tend vers 4-, -4/(x-4) tend vers +∞ et 1/(x-1) tend vers 1/5
Donc [tex]\lim_{x \to 4} f(x)=[/tex] +∞
f(x) admet une asymptote verticale en en x=1 et x=4
4) Voir le graphique ci-joint.
