Si, pour tout réel x ∈ R, on a P (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, alors :
P(x+1)−P(x)=(a(x+1)4 +b(x+1)3 +c(x+1)2 +d(x+1)+e)−(ax4 +bx3 +cx2 +dx+e).
Développons et réduisons le 2e membre de cette égalité :
(a(x+1)4 +b(x+1)3 +c(x+1)2 +d(x+1)+e)−(ax4 +bx3 +cx2 +dx+e)
= (4a+b−b)x3 +(6a+3b+c−c)x2 +(4a+3b+2c+d−d)x+(a+b+c+d+e−e)
= 4ax3 +(6a+3b)x2 +(4a+3b+2c)x+(a+b+c+d). D'où, si ce polynôme doit être égal à x3, par identification, on doit avoir :
4a = 1, 6a + 3b = 0, 64a + 3b + 2c = 0 et a + b + c + d = 0, soit a = 1/4 ,b=−1/2,c=1/4 et d=0.
Comme aucune contrainte n'est posée pour e, on n'a qu'à prendre e=0. On
obtient donc l'expression générale du polynôme : P(x) = (x(x-1)/2)^2
