Bonjour Manon,
Ci-joint une petite représentation faite avec GeoGebra pour clarifier la suite.
1. En traçant le triangle, on se rend compte qu'il peut y avoir un angle droit en A.
Pour déterminer si c'est le cas, on doit étudier le produit scalaire AC.AB
On calcule pour cela les deux coordonnées de nos vecteurs :
AC = (xc - xa ; yc - ya) = (-6 ; 4)
AB = (xb - xa ; yb - ya) = (6 ; 8)
Rappel :
Soit deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y'),
u.v = x * x' + y * y'
Si le produit scalaire est nul, les deux vecteurs sont orthogonaux.
donc AC.AB = -6 * 6 + 4 * 8
= -36 + 32
= -4 ≠ 0
donc le triangle n'est pas rectangle.
2. Pour déterminer les coordonnées de milieu de segments, on fait la moyenne des x entre eux et la moyenne des y entre eux :
D milieu de [AB]
D ( [tex]\frac{xa+xb}{2}[/tex] ; [tex]\frac{ya+yb}{2}[/tex] ) = ( [tex]\frac{1+7}{2}[/tex] ; [tex]\frac{-3+5}{2}[/tex] ) = (4 ; 1)
E milieu de [BC]
E ( [tex]\frac{xb+xc}{2}[/tex] ; [tex]\frac{yb+yc}{2}[/tex] ) = ( [tex]\frac{7+(-5)}{2}[/tex] ; [tex]\frac{5+1}{2}[/tex] ) = (1 ; 3)
F milieu de [CA]
F ( [tex]\frac{xc+xa}{2}[/tex] ; [tex]\frac{yc+ya}{2}[/tex] ) = ([tex]\frac{-5+1}{2}[/tex] ; [tex]\frac{1+(-3)}{2}[/tex] ) = (-2 ; -1)
3. On cherche à déterminer les équations des médianes.
On commence par identifier les médianes : [AE], [BF] et [CD]
On va ensuite chercher le coefficient directeur de ces médianes, a partir
de leur 2 points connus.
Formule du coeff directeur : [tex]\frac{yb-ya}{xb-xa}[/tex]
Médiane [AE] , qui passe par A(1 ; -3) et E(1 ; 3)
coeff dir = [tex]\frac{ye-ya}{xe-xa}[/tex] = [tex]\frac{3-(-3)}{1-1}[/tex] = 0
Une équation est de la forme : y = mx + p
On vient de trouver que m=0, autrement dit la droite n'a pas de coefficient directeur, elle est dans notre cas parallèle à l'axe des ordonnées.
A(1 ; -3) et E(1 ; 3) appartiennent à la droite, ils ont la même abscisse.
Puisque son coeff dir est nul, elle ne varie pas.
Une équation de la médiane [AE] est donc x=1
Médiane [BF], qui passe par B(7 ; 5) et F(-2 ; -1)
coeff dir = [tex]\frac{yf-yb}{xf-xb}[/tex] = [tex]\frac{-1-5}{-2-7}[/tex] = [tex]\frac{-6}{-9}[/tex] = [tex]\frac{2}{3}[/tex]
On a donc y = [tex]\frac{2}{3}[/tex]x + p
Or B(7 ; 5) appartient à la droite
donc yb = [tex]\frac{2}{3}[/tex]xb + p
donc 5 = [tex]\frac{2}{3}[/tex] * 7 + p
donc 5 = [tex]\frac{14}{3}[/tex] + p
On fait passer le [tex]\frac{14}{3}[/tex] de l'autre coté et on obtient :
5 - [tex]\frac{14}{3}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex] = p
Donc on a : y = [tex]\frac{2}{3}[/tex]x + [tex]\frac{1}{3}[/tex]
Médiane [CD], qui passe par C(-5 ; 1) et D(4 ; 1)
coeff dir = [tex]\frac{yd-yc}{xd-xc}[/tex] = [tex]\frac{1-1}{4-(-5)}[/tex] = 0
Donc y = 0x + p
Or C(-5 ; 1) et D(4 ; 1) appartiennent à la médiane.
Puisque son coeff dir est nul, elle ne varie pas.
Les deux points ayant la même ordonnée, elle est donc parallèle à l'axe
des abscisses.
Une équation de la médiane [CD] est donc y=1
4.
On cherche H(x ; y) tel que :
• x = 1 (équation de [AE])
• y = [tex]\frac{2}{3}[/tex]x + [tex]\frac{1}{3}[/tex] =
• y = 1 (équation de [CD])
Rappel : il faut que les coordonnées de H vérifient les 3 équations
Tout est cohérent, donc H(1 ; 1)
5. Le point H est intersection des 3 médianes, il appartient donc à la troisième médiane. (sinon il ne serait pas intersection)
J'espère que les explications sont suffisamment claires,
Bonne journée
