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Bonjour,
J’aurais besoin d’aide pour un exercice sur les vecteurs.

ABCD est un parallélogramme de centre O. I,J,K sont les milieux respectifs des côtés [AB],[BC] et [DA]. M et N sont les points tels que IM=5/8 IK et JN=2/3 JL

a)Démontrer que les points C,M et N sont alignés.

b)Démontrer que les droites (BN) et (DM) sont parallèles.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

Je suppose que K est le milieu de CD et L celui de DA, l'énoncé est incomplet.

J et L étant les milieux respectifs de BC et AD, on a (JL)//(AB) et (CD) et JL=BA=CD

De même, (IK) // (AD) et (BC) et IK=AD=BC

ABCD est un parallélogramme donc AB=DC et AD=BC

a) CM=CK+KM

Or CK=1/2*CD=1/2*BA=-1/2*AB

et KM=KI+IM=-IK+5/8*IK=-3/8*IK=-3/8*AD

Donc CM=-1/2*AB-3/8*AD

CN=CJ+JN

Or CJ=1/2*CB=1/2*DA=-1/2*AD

et JN=2/3*JL=2/3*BA=-2/3*AB

Donc CN=-2/3*AB-1/2*AD

On a donc CN=4/3*(-1/2)*AB+4/3*(-3/8)*AD=4/3*(-1/2*AB-3/8*AD)=4/3*CM

CN et CM sont colinéaires sont C, M et N sont alignés.

b) DM=DK+KM=1/2*DC-3/8*AD=1/2*AB-3/8*AD

BN=BJ+JN=1/2*BC-2/3*AB=1/2*AD-2/3*AB

Donc DM=-3/4*(-2/3)*AB-3/4*(1/2)*AD)=-3/4*(-2/3*AB+1/2*AD)=-3/4*BN

DM et BN sont colinéaires donc (DM) et (BN) sont parallèles.