Réponse :
Explications étape par étape :
sur R (= ensemble des réels), f(x) = x³ + 6 x² + 9x -7
f est définie sur R et dérivable sur R
D'où f'(x) = 3x² + 6 × 2 x + 9 = 3 x² +12 x +9 = 3 (x² + 4 x +3)
on recherche les valeurs qui annule f'(x)
f'(x) = 0 si 3 (x² + 4 x +3) = 0
si x² + 4 x +3 = 0
on recherche Δ
Δ = b² - 4 × a × c avec a = 1, b = 4 , c = 3
Δ = 4² - 4 × 1 × 3
Δ = 16 - 12 = 4 > 0 donc √Δ = 2
donc l'équation deux solutions avec b = 4, a = 1 √Δ = 2
x₁ = (- b + √Δ) / 2 a ou x₂ = (- b - √Δ) / 2 a
x₁ = ( - 4 + 2) / 2 ou x₂ = (- 4 - 2 ) / 2
x₁ = - 2 / 2 ou x₂ = -6 / 2
x₁ = - 1 ou x₂ = - 3
donc f'(x) peut s'écrire de la forme a ( x - x₁ )( x - x₂ )
avec a = 1, x₁ = - 1, x₂ = -3
f'(x) = 3 ( 1 (x - (-1)) (x - (-3)) ) = 3 ( x +1) (x + 3)
x - ∞ - 3 - 1 + ∞
signe de f' + Ф - Ф +
signe de a signe de a
ici a = 3 >0 ici a = 3 >0
variations de f (x) fleche fleche fleche
qui monte qui descend qui monte
on suit le même procédé pour la fonction suivante
sur R, f(x) = - 2 x³ + 9 x² - 12 x + 5
f est définie et dérivable sur R
f'(x) = - 2 × 3 x² + 9 × 2 × x - 12 = -6 x² + 18 x - 12 = 6 (- x² + 3 x - 2)
on recherche Δ
Δ = b² - 4 × a × c avec a = - 1, b = 3 , c = -2
Δ = 3 ² - 4 × (-1) × (-2) = 9 - 8 = 1>0 donc √Δ = 1
donc l'équation deux solutions avec b = 3, a = 1 √Δ = 1
x₁ = (- b + √Δ) / 2 a ou x₂ = (- b - √Δ) / 2 a
x₁ = ( - 3 + 1 ) / 2 ou x₂ = ( - 3 - 1 ) / 2
x₁ = - 2 / 2 ou x₂ = (- 4) /2
x₁ = - 1 ou x₂ = -2
donc f'(x) peut s'écrire de la forme a ( x - x₁ )( x - x₂ )
f'(x) = 6 (x - (-1)) (x - (-2)) = 6 (x + 1 ) (x + 2) = - 6 ( x - 1) (x - 2)
f'(x) = - 6 ( x - 1) (x - 2)
x - ∞ 1 2 + ∞
signe de f' - Ф + Ф -
signe de a signe de a
ici a = - 6 < 0 ici a = - 6 < 0
variations de f (x) fleche fleche fleche
qui descend qui monte qui descend
