Réponse :
Bonsoir attention quand tu recopies un énoncé il faut être précis sur les exposants f(x)=(x-3)e^(x+2) (merci pour la photocopie de l'énoncé)
Explications étape par étape :
f(x)=(x-3)e^(x+2) sur Df=R
1-a) l'expression e^(x+2) étant toujours >0 le signe de f(x) dépend du signe de (x-3)
f'(x)=0 pour x=3
f(x)<0 si x<3 et f(x)>0 si x>3
1-b)Si x <3 , Cf en dessous de l'axe des abscisses
Si x>3 , Cf au dessus de l'axe des abscisses.
1-c) Intersection avec l'axes des abscisses est la solution de f(x)=0 soit x=3 coordonnées du point (3; 0).
Intersection avec l'axes ordonnées c'est (0; f(0)) soit (0;-3e²)
2-a) dérivée f'(x)=1*e^(x+2)+(x-3)e^(x+2)=(x-2)e^(x+2)
le signe de f'(x) dépend du signe de (x-2)
2-b) Tableau de signes de f'(x) et de variation de f(x)
Avant de dresser ce tableau il est nécessaire de voir le comportement de f(x) aux bornes du Df (ceci pour compléter l'étude)
si x tend vers -oo, f(x) tend vers 0- ( FI vue en cours limite de xe^x en-oo est 0-)
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo
tableau
x -oo 2 +oo
f'(x) + 0 +
f(x) 0- .................D.........................f(2) ............C...................+oo
f(2)=-e^4 (-55 environ)
3a) La tangente horizontale à Cf (T) au point d'abscisse x=2
est y=-e^4
on note aussi que l'axe des abscisses y=0 est une asymptote horizontale en -oo (non demandée)
3b)tangente au point d'abscisse x=-2: (T') y=f'(-2)(x+2)+f(-2)
y=-4(x+2)-5=-4x-13
