Réponse :
Bonjour
1. B est définie sur [1; +∞[
2a.
B est de la forme k - u/v avec
k = 10
u(q) = exp(0,2q+1)
v(q) = q
ainsi
u'(q) = 0,2exp(0,2q+1)
v'(q) = 1
[tex]B'(q) = 0 - \frac{0,2e^{0,2q+1} \times q-1\times e^{0,2q+1}}{q^{2} } \\B'(q) = -\frac{e^{0,2q+1}(0,2q-1)}{q^{2} } \\B'(q) =\frac{(1-0,2q)e^{0,2q+1}}{q^{2} }[/tex]
2b
q² > 0 sur I
exp(0,2q+1)>0 sur I
donc B'(q) est du signe de (1-0.2q)
1-0,2q ≥ 0
-0,2q ≥-1
q ≤ 5
B'(q) est négative sur [1; 5] et positive sur [5; +∞[
q | 1 5 +∞
B'(q) | + 0 -
2c. D'après le théorème de dérivation :
Sur [1;5], B'(q) est positive donc B(q) est croissante.
Sur [5; +∞[, B'(q) est négative donc B(q) est décroissante.
Voir la photo pour le tableau
B(1) = 10 - exp(1,2) ≈ 6,7
B(5) = 10 - e²/5 ≈ 8,5
3. D'après le tableau de variation de B, le bénéfice maximal est de 8,5 milliers d'euros. Ce bénéfice est obtenu pour 5 dizaines de tonnes (50 tonnes) produites.
