Salut,
On a g: [-5;5] → R
x→ [tex]e^{x}[/tex] - x +1
g est définit et dérivable sur [-5;5] comme somme de fonctions dérivables sur [-5;5].
1) Déterminons g':
Soit x∈[-5;5], (tu sais que la dérivé d'exponentielle c'est l'exponentielle)
g'(x)=[tex]e^{x}[/tex]-1
2) Etude des variations de g:
Tu sais que [tex]e^{x}[/tex]=1 ⇔ x=0 et est croissante sur R,
on peut donc en déduire que g'(x)≤0 pour x∈]-∞;0] et g'(x)≥0 pour x∈[0;+∞[.
Ainsi, g est croissante sur [0;5] et est décroissante sur [-5;0]. ( tu dois faire un tableau de variations)
3) Montrons que ∀x∈[-5;5], g(x)>0:
On sait que g est continue sur [-5;5]comme somme de fonctions continues sur [-5;5] et est décroissante puis croissante donc atteint un minimum en pour x=0
Calculons g(0):
g(0)= e°-0+1=2
Donc ∀x∈[-5;5], g(x)≥2>0.
4) Soit f définit sur [-5;5], telle que ∀x∈[-5;5], f(x)= x+1+[tex]\frac{x}{e^{x} }[/tex]
f est dérivable sur [-5;5] comme somme et composée de fonctions dérivables sur [-5;5].
a. ∀x∈[-5;5],
(ici la "complexité" est de dérivé le dernier terme, pour cela tu utilise (u/v)'=(u'v-v'u)/v² )
f'(x)= 1 +[tex]\frac{1-x}{e^{x} }[/tex]= [tex]\frac{e^{x}-x+1 }{e^{x} }[/tex]
tu peux remarquer que f'(x)=[tex]\frac{g(x)}{e^{x} }[/tex]
or, ∀x∈[-5;5], g(x)>0 et exp(x)>0
d'où, ∀x∈[-5;5], f'(x)>0
Ainsi, f est strictement croissante [-5;5]
b. Ici , tu sais que l'équation d'une tangente au point a est y=f'(a)(x-a) + f(a)
donc Cf au point 0 est :
y=f'(0)(x-0) + f(0)
y=2x+1
Voila.
