Réponse :
d : x - 2 y + 8 = 0
1) donner les coordonnées d'un vecteur directeur à d
un vecteur directeur de d : u(2 ; 1)
2) déterminer une équation de la perpendiculaire à d passant par A
x - 2 y + 8 = 0 ⇔ 2 y = x + 8 ⇔ y = 1/2) x + 8
m * m' = - 1 ⇔ 1/2) * m' = - 1 ⇔ m' = - 2
y = - 2 x + p
2 = - 2*6 + p ⇒ p = 14 donc y = - 2 x + 14 ou bien 2 x + y - 14 = 0
on peut déterminer une équation perpendiculaire à d en utilisant le produit scalaire des vecteurs u et v
soit M(x ; y) tel que vec(AM).vec(u) = 0 ⇔ XX' + YY' = 0
vec(AM) = vec(v) = (x - 6 ; x - 2)
(x - 6)*2 + (y - 2)*1 = 0 ⇔ 2 x - 12 + y - 2 = 0 ⇔ 2 x + y - 14 = 0
3) calculer les coordonnées de H projeté orthogonal de A sur d
4) calculer les coordonner de H projeté orthogonal de A sur d
les droites d'équation x - 2 y + 8 = 0 et 2 x + y - 14 = 0 sont perpendiculaire au point H
y = 1/2) x + 4
y = - 2 x + 14
1/2) x + 4 = - 2 x + 14 ⇔ 1/2) x + 2 x = 10 ⇔ 5/2) x = 10 ⇔ x = 20/5 = 4
y = - 2*4 + 14 = 6
H(4 ; 6)
4) déterminer une équation du cercle (C) de centre A passant par H
(x - 6)²+(y - 2)² = R²
R = AH et vec(AH) = (4-6 ; 6-2) = (-2 ; 4) ⇒ AH² = (-2)² + 4² = 20
R² = 20
(x - 6)²+(y - 2)² = 20
5) le cercle (C) coupe l'axe des abscisses en D et E, calculer les coordonnées des points D et E
(x - 6)² = 20 ⇔ (x - 6)² - (√20)² = 0 ⇔ (x - 6 + √20)(x - 6 - √20) = 0
⇔ x = 6 - √20 = 6 -2√5 ou x = 6 +√20 = 6+2√5
il suffit de remplacer x1 = 6 - 2√5 ⇒ y1 et x2 = 6+2√5 ⇒ y2
dans l'équation (x - 6)² + (y - 2)² = 20 pour avoir les coordonnées de D et E
Explications étape par étape :
