Réponse :
1) montrer que la droite (AB) a pour équation cartésienne :
(1/a - 1/b) x + (b - a) y + a/b - b/a = 0
soient a ; b ∈ R* et a ≠ b
A(a ; 1/a) et B(b ; 1/b)
soit P(x ; y) tel que les vecteurs AP et AB soient colinéaires
⇔ XY' - YX' = 0
vec(AP) = (x - a ; y - 1/a)
le vecteur directeur de la droite (AB) est :
v(b - a ; 1/b - 1/a)
(x - a)* (1/b - 1/a) - (b-a)(y - 1/a) = 0
1/b) x - 1/a) x - a/b + 1 - (b y - b/a - a y + 1) = 0
1/b) x - 1/a) x - a/b + 1 - b y + b/a + a y - 1 = 0
- (1/a - 1/b) x - (b - a) y - a/b + b/a = 0
on multipliant par - 1 on obtient
(1/a - 1/b) x + (b - a) y + a/b - b/a = 0
2) montrer que M a pour coordonnées (a+b ; 0)
M(x ; 0) ∈ (AB) ⇔ (1/a - 1/b) x + a/b - b/a = 0 ⇔ x = (b/a - a/b)/(1/a - 1/b)
⇔ x = (b² - a²)/ab/(b - a)/ab
= (b - a)(b + a)/(b- a) = b + a
donc M(a+b ; 0)
3) montrer que N a pour coordonnées (0 ; (b+a)/ab)
(b - a) y + a/b - b/a = 0 ⇔ y = (b/a - a/b)/(b-a)
= (b² - a²)/ab/(b-a)
= (b - a)(b+a)/ab(b-a)
= (b+a)/ab
donc N(0 ; (b+a)/ab)
3) a) en déduire les coordonnées du milieu de (MN) conclure
M(a+b ; 0) et N(0 ; (b+a)/ab)
x = (a+b)/2
y = (b+a)/2ab
les droites (AB) et (MN) ont le même milieu
Explications étape par étape :