Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) Comme cos2x=cos²x-sin²x on a cos2x=2cos²x-1=1-2sin²x
On en déduit que cos²x=(1+cos2x)/2 et sin²x=(1-cos2x)/2
f(x)=sin²xcos²xcosx=(1-cos2x)/2*(1+cos2x)/2*cosx=(1-cos²2x)/4*cosx
Donc f(x)=sin²2x/4*cosx=(1-cos4x)/8*cosx
Or cos4xcosx=1/2*(cos(4x-x)+cos(4x+x))=(cos3x+cos5x)/2
Donc f(x)=cosx/8-(cos3x+cos5x)/16
2) [tex]\int\limits^\frac{pi}{2}_0 {f(x)} \, dx=\frac{1}{8}\int\limits^\frac{pi}{2}_0 {cosx} \, dx-\frac{1}{16}\int\limits^\frac{pi}{2} _0 {cos3x} \, dx-\frac{1}{16}\int\limits^\frac{pi}{2}_0 {cos5x} \, dx[/tex]
[tex]\int\limits^\frac{pi}{2} _0 {f(x)} \, dx[/tex] = 1/8*[sinx]-1/48*[sin3x]-1/80*[sin5x]=1/8-1/48*(-1)-1/80=1/8+1/48-1/80
[tex]\int\limits^\frac{pi}{2} _0 {f(x)} \, dx[/tex]= 30/240-5/240-3/240=22/240=11/120
